Informacja pochodzi z witryny http://www.math.edu.pl

Następnie sporządził odlew okrągłego morza o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości 5 łokci i o obwodzie 30 łokci. Biblia Tysiąclecia

$\pi \approx \mathrm{3,141592653589793238462643383279502884197169...}$

Już w czasach zamierzchłych starożytni rachmistrze zauważyli, że wszystkie koła mają ze sobą coś wspólnego, że ich średnica i obwód pozostają wobec siebie w takim samym stosunku, a liczba ta bliska jest 3. W Starym Testamencie obwód był właśnie trzykrotnością średnicy, a w jednym z najstarszych tekstów matematycznych - papirusie Rhinda (XVII w. p. n. e.) wartość ta była przedstawiana jako ${\left(\frac{16}{9}\right)}^2\approx \mathrm{3,160493...}$ W III wieku przed Chrystusem, Archimedes zaproponował ciąg oszacowań. Wcisnął ten stosunek między dwa ułamki. Pisał tak: W każdym kole długość obwodu jest większa niż trzykrotna długość średnicy o mniej niż jedną siódmą, ale więcej niż dziesięć siedemdziesiątych pierwszych. Poszukiwana liczba według Archimedesa zawarta jest między $3+\frac{10}{71}$ i $3+\frac{1}{7}$. Doszedł do tego obliczając pola zawarte w wielokątach foremnych o 96 bokach.

Czym jest π

Liczba π to stosunek długości okręgu do długości jego średnicy, jest wielkością stałą i wynosi w przybliżeniu 3,1415... Ale dlaczego w przybliżeniu? Dziś jesteśmy w stanie obliczyć wartość pi do milionów miejsc po przecinku. Rodzi się pytanie: jakiego rodzaju to liczba? Wiemy, że jest bardzo bliska $\frac{22}{7}\approx \mathrm{3,14}$, ale nie ma tu równości. Bliższa jest wartości $\frac{355}{113}\approx \mathrm{3,1415929203...}$, ale nawet ta liczba nie określa dokładnej wartości. Czy jest możliwe, żeby liczba pi była równa pewnemu ułamkowi tym samym należącą do zbioru liczb wymiernych? Odpowiedź brzmi: nie, jak pokazał Johann Lambert w 1761 roku. Lambert udowodnił, że π nie jest pierwiastkiem kwadratowym żadnego ułamka. Ostatecznie w roku 1882 niemiecki matematyk Ferdinand Lindemann rozstrzygnął podstawowy problem dotyczący liczby i wykazał, że π jest liczbą przestępną czyli taką, która nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Liczba pi jest więc liczbą niewymierną, taką której rozwinięcie dziesiętne zachowuje się "byle jak", nie ma w nim żadnego porządku i nigdy się nie kończy.

Używany dzisiaj symbol π wprowadzony został dopiero w 1706 roku przez Wiliama Jonesa, a spopularyzował go Leonhard Euler używając tego zapisu w dziele Analiza. Swą nazwę zawdzięcza pierwszej literze greckiego słowa "peryferia". Liczba ta nazywana jest również ludolfiną od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena, który wraz z żoną na początku XVII w. podał jej przybliżenie z dokładnością 35 miejsc po przecinku, co w tamtych czasach było ogromnym wyczynem. Popularność liczba pi zawdzięcza występowaniu swoim we wzorach na pole koła czy objętości kuli, związana jest także z kwadraturą koła - zadaniem pochodzącym ze starożytnej Grecji, rozwiązanym dopiero przez Lindemanna.

Wzory na π

Oto wzory na liczbę pi, jakie pojawiały się w pracach uczonych tego świata.

Babilończycy (ok. 2000 r. p.n.e.): $\pi \approx 3$
Egipcjanie (ok. 2000 r. p.n.e.): $\pi \approx {\left(\frac{16}{9}\right)}^2\approx \mathrm{3,160493...}$
Archimedes (III w. p.n.e.): $\pi \approx \frac{22}{7}\approx \mathrm{3,14}$
Chiński matematyk Chang Hing (I w. n. e.): $\frac{142}{45}\approx \mathrm{3,1555...}$
Klaudiusz Ptolomeusz (II w. n.e.): $\pi \approx 3+\frac{8}{60}+\frac{3}{360}\approx \mathrm{3,1416}$
hinduski matematyk Ariabhata (V w. n.e.): $\pi \approx \frac{62832}{20000}=\mathrm{3,1416}$
hinduski matematyk Brahmagupta (VII w. n.e.): $\pi \approx \sqrt{10}\approx \mathrm{3,162...}$
hinduski matematyk Bhasakara (VII w. n.e.): $\pi \approx \frac{754}{240}=\mathrm{3,1416666...}$
włoski matematyk Leonardo Fibonacci (XIII w.): $\pi \approx \frac{864}{275}\approx \mathrm{3,1415929}$
holenderski matematyk Piotr Metius (XVI w.): $\pi \approx \frac{355}{113}\approx \mathrm{3,1415929}$
francuski matematyk Francois Viete (XVI w.): $\frac{\mathrm{\pi }}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}·\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}·\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}·...$
angielski matematyk John Wallis (XVII w.): $\frac{\mathrm{\pi }}{2}=\frac{2·2·4·4·6·6·...}{3·3·5·5·7·7·...}$
niemiecki matematyk Gottfried Wilhelm Leibniz (XVII w.): $\frac{\mathrm{\pi }}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+...$
szwajcarski matematyk Leonhard Euler (XVIII w.): $\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...$

Ciekawostki

W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie pi z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nieznanych nam z imienia uczonych.

Tak i mnie i tobie poznawana tu liczba cudna dla ogółu
przynosi wszystkim pożytek wspaniały
π ≈ 3,14159265358979

Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby π. Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat.

Liczba pi z dokładnością do miliona miejsc po przecinku